歸一問題

【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量；1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量；另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

例1. 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？

解：買1支鉛筆多少錢？

0.6÷5＝0.12（元）

買16支鉛筆需要多少錢？

0.12×16＝1.92（元）

列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：需要1.92元。

例2. 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？

解：1臺拖拉機1天耕地多少公頃？

90÷3÷3＝10（公頃）

5臺拖拉機6天耕地多少公頃？

10×5×6＝300（公頃）

列成綜合算式

90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）

答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。

例3. 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？

解：1輛汽車1次能運多少噸鋼材？

100÷5÷4＝5（噸）

7輛汽車1次能運多少噸鋼材？

5×7＝35（噸） 

105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？

105÷35＝3（次）

列成綜合算式

105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

答：需要運3次。

歸總問題

【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。

所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量；總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)；總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1. 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

解：這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

現(xiàn)在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）

答：現(xiàn)在可以做904套。

例2. 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？

解：《紅巖》這本書總共多少頁？

24×12＝288（頁）

小明幾天可以讀完《紅巖》？

288÷36＝8（天）

列成綜合算式

24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3. 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50kg，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10kg，這批蔬菜可以吃多少天？

解：這批蔬菜共有多少千克？

50×30＝1500（千克）

這批蔬菜可以吃幾天？

1500÷（50＋10）＝25（天）

 列成綜合算式

50×30÷（50＋10）＝25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天。

和差問題

【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)＝（和＋差）÷2；小數(shù)＝（和－差）÷2

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1. 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

解：甲班人數(shù)：

（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人數(shù)：

（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2. 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。

解：長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）

長方形的面積

10×8＝80（平方厘米）

答：長方形的面積為80平方厘米。

例3. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解：甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知：

甲袋化肥重量：

（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量：

（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量：

32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4. 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

解：從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此：

甲車筐數(shù)：

（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙車筐數(shù)：

97－64＝33（筐）

答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

和倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)；總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)；較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1. 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

解：杏樹有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）

桃樹有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

例2. 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？

解：西庫存糧數(shù)：

480÷（1.4＋1）＝200（噸）

東庫存糧數(shù)：

480－200＝280（噸）

答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。

例3. 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？

解：每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。

把幾天后甲站車輛數(shù)當作1倍量，則乙站車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當于（2＋1）倍，那么

幾天后甲站車輛數(shù)減為：

（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）

所求天數(shù)為：

（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4. 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？

解：乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4，所以乙數(shù)加上4就變成甲數(shù)的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；

這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。那么，

甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

乙數(shù)＝28×2－4＝52

丙數(shù)＝28×3＋6＝90

答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。

差倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)；較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1. 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

解：杏樹有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）

桃樹有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2. 爸爸比兒子大27歲，今年爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

解：兒子年齡：

27÷（4－1）＝9（歲）

爸爸年齡：

9×4＝36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3. 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

解：如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，

上月盈利：

（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）

本月盈利：

18＋30＝48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4. 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解：由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。

把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么（138－94）就相當于（3－1）倍，因此，

剩下的小麥數(shù)量：

（138－94）÷（3－1）＝22（噸）

運出的小麥數(shù)量：

94－22＝72（噸）

運糧的天數(shù)：

72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷1個數(shù)量＝倍數(shù)；另1個數(shù)量×倍數(shù)＝另1總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1. 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解：3700kg是100kg的多少倍？

3700÷100＝37（倍）

可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）

列成綜合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2. 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？

解：48000名是300名的幾倍？

48000÷300＝160（倍）

共植樹多少棵？

400×160＝64000（棵）

列成綜合算式

400×（48000÷300）＝64000（棵）

答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3. 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解：800畝是4畝的幾倍？

800÷4＝200（倍）

800畝收入多少元？

11111×200＝2222200（元）

16000畝是800畝的幾倍？

16000÷800＝20（倍）

16000畝收入？

2222200×20＝44444000（元）

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。
 

相遇問題

【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）；總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1. 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？

解：392÷（28＋21）＝8（小時）

答：經(jīng)過8小時兩船相遇。

例2. 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？

解：“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此，總路程為400×2

相遇時間：

（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。

例3. 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。

解：“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。

從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，

相遇時間：

（3×2）÷（15－13）＝3（小時）

兩地距離：

（15＋13）×3＝84（千米）

答：兩地距離是84千米。

追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動。

在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間；

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1. 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

解：劣馬先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）

好馬幾天追上劣馬？

900÷（120－75）＝20（天）

列成綜合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：好馬20天能追上劣馬。

例2. 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解：小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米；

要知小亮的速度須知追及時間，即小明跑500米用的時間。由小明跑200米用40秒得，跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以，

小亮的速度是

（500－200）÷［40×（500÷200）］＝3（米）

答：小亮的速度是每秒3米。

例3. 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？

解：敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，

這段時間敵人逃跑的路程是：

［10×（22－16）］千米，

甲乙兩地相距60千米。則

追及時間：

［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝6（小時）

答：解放軍在6小時后可以追上敵人。

例4. 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

解：這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車，追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，

這個時間為：

16×2÷（48－40）＝4（小時）

所以兩站間的距離為：

（48＋40）×4＝352（千米）

列成綜合算式：

（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5. 兄妹二人同時由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠？

解：要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間：

在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)兄比妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，那么

二人從家出走到相遇所用時間為：

180×2÷（90－60） ＝12（分鐘）

家離學(xué)校的距離為：

90×12－180＝900（米）

答：家離學(xué)校有900米遠。

例6. 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學(xué)校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。

解：手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘；

后段路程跑步恰準時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知

行1千米，跑步比步行少用：

［9－（10－5）］分。

所以步行1千米所用時間為：

1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時）＝15（分鐘）

跑步1千米所用時間為：

15－［9－（10－5）］＝11（分）

跑步速度為每小時：

1÷11／60＝5.5（千米）

答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。

植樹問題

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1；環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距；方形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－4；三角形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－3；面積植樹棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1. 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

例2. 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？

解：400÷4＝100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹。

例3. 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？

解：220×4÷8－4＝110－4＝106（個）

答：一共可以安裝106個照明燈。

例4. 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？

解：96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）

答：至少需要400塊地板磚。

例5. 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

解：橋的一邊有多少個電桿？

500÷50＋1＝11（個）

橋的兩邊有多少個電桿？

11×2＝22（個）

大橋兩邊可安裝多少盞路燈？

22×2＝44（盞）

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

年齡問題

【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)

例1. 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？

解：35÷5＝7（倍）；

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年是亮亮的6倍。

例2. 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

解：母親比女兒的年齡大多少歲？

37－7＝30（歲）

幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

30÷（4－1）－7＝3（年）

列成綜合算式

（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3. 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？

解：今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加

（3×2）歲，

今年二人的年齡和為：

49＋3×2＝55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，

則今年父子年齡和相當于（4＋1）倍，

因此，今年兒子年齡為：

55÷（4＋1）＝11（歲）

今年父親年齡為：

11×4＝44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。