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初中數(shù)學(xué)三角形全等的判定+性質(zhì)+輔助線技巧！

日期：2021-09-09 10:12 點(diǎn)擊：

1
三角形全等的判定
 
1.三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)。
2.有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)。
3.有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)。
4.有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)。
 
 
2
全等三角形的性質(zhì)
 
①全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。
②全等三角形的周長、面積相等。
③全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。
④全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。
⑤全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。
 
 
3
找全等三角形的方法
 
(1)可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；
(3)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；
(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
三角形全等的證明中包含兩個要素：邊和角。
 
缺個角的條件：
 
圖片
 
缺條邊的條件：
 
圖片
 
 
4
構(gòu)造輔助線的常用方法
 
 
1.關(guān)于角平分線的輔助線
 
當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)角平分線時，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。
 
角平分線具有兩條性質(zhì)：
①角平分線具有對稱性；
②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
 
關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：
 
(1)截取構(gòu)全等
 
如下左圖所示，OC是∠AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為OB上一點(diǎn)，若在OA上取一點(diǎn)E，使得OE=OF，并連接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。
 
圖片
 
例：如上右圖所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。
 
提示：在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA，連結(jié)EF。
 
(2)角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等
 
利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如下左圖所示，過∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。
則有：DE=DF，△OED≌△OFD。
 
圖片
 
例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180 
 
 
(3)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形
 
如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個等腰三角形（△OEF），垂足為底邊上的中點(diǎn)D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。
如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”。
 
圖片
例：如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。
 
求證：DH=（AB-AC）
提示：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。
 
(4)作平行線構(gòu)造等腰三角形
作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況：
①如下左圖所示，過角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。
②如下右圖所示，通過角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點(diǎn)H，從而構(gòu)造等腰三角形ODH。
 
2.由線段和差想到的輔助線
 
 
 

1

 
 
 
遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法：
①截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；
②補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。
截長補(bǔ)短法作輔助線。
 
在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求證：AB＝AC＋CD。
 
圖片
 
因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線
所以∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得：△EAD≌△CAD
所以∠EDA=∠CDA,ED=CD
又因?yàn)?ang;CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C+∠CAD)-∠CDA
=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）
=∠B
所以△BED為等腰三角形
所以EB=ED=CD
所以AB=AE+EB=AC+CD
 
 
 
 
2
 
 
 
對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。
在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。
 
例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
 
圖片
（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD；       （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE；       （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
 ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
圖片
（法2）如圖1-2， 延長BD交 AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：      
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形兩邊之和大于第三邊） （1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）   （2）
DG＋GE＞DE（同上）     （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
 
 
 
 
3
 
 
 
在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：
 
例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。
 
圖片
 
分析：因?yàn)?ang;BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置。
 
證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，
∴∠BDC＞∠BAC
 
證法二：連接AD，并延長交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。
 
3.由中點(diǎn)想到的輔助線
 
在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。
 
(1)中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形
即如圖1，AD是ΔABC的中線，則
SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因?yàn)?Delta;ABD與ΔACD是等底同高的）。
 
圖片
 
例1  如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。
 
(2)倍長中線
已知中點(diǎn)、中線問題應(yīng)想到倍長中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E，使得AD=AE，連結(jié)BE。
 
圖片
 
 
 
4.其他輔助線做法
 
(1)延長已知邊構(gòu)造三角形
在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決．
例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長．
 
圖片
 
延長AD、BC交于F,
 
∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠DAE=∠CBE,
又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴△ACF≌△BCE,
∴BE=AF,
∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴AD=FD=1/2AF, AD為a
∴BE=2a
 
(2)連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。
例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC    求證：AB=CD。
 
圖片
 
分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形全等來解決。
 
(3)連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形
例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。
分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。
 
圖片
 
(4)取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形
 
例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。
圖片
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。

 

 

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