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初中數(shù)學矩形、菱形、正方形的5大考點及題型匯總

日期：2021-09-30 13:09 點擊：

一、矩形、菱形、正方形的性質
 
1.矩形的性質
①具有平行四邊形的一切性質；
②矩形的四個角都是直角；
③矩形的對角線相等；
④矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；
⑤直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
 
2.菱形的性質
①具有平行四邊形的一切性質；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；
④菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是它的對稱軸；
⑤菱形的面積＝底×高＝對角線乘積的一半。
 
3.正方形的性質
正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質
①邊：四邊相等，對邊平行；
②角：四個角都是直角；
③對角線：互相平分；相等；且垂直；每一條對角線平分一組對角，即正方形的對角線與邊的夾角為45度；
④正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸。
 
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為  （   ）
 
A．360        B．90       
 
C．270        D．180
 
圖片
 
例2 如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，對角線AC與BD相交于點O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的長。   
 
例3 如圖， O是矩形ABCD 對角線的交點， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度數(shù)。
 
圖片
 
例4 菱形的周長為40cm，兩鄰角的比為1:2，則較短對角線的長________ 。
 
例5 如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關系，并說明理由．
 
 
 
 
二、矩形、菱形、正方形的判定
 
1.矩形的判定
①有一個內角是直角的平行四邊形是矩形；
②對角線相等的平行四邊形是矩形；
③有三個角是直角的四邊形是矩形；
④還有對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。
 
2.菱形的判定方法
①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
③四條邊都相等四邊形是菱形；
④對角線垂直平分的四邊形是菱形。
 
3.正方形的判定
①菱形+矩形的一條特征；
②菱形+矩形的一條特征；
③平行四邊形+一個直角+一組鄰邊相等。
 
說明一個四邊形是正方形的一般思路是：先判斷它是矩形，在判斷這個矩形也是菱形；或先判斷它是菱形，再判斷這個菱形也是矩形。
 
例1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC的中點，過點A、D分別作BC與AB的平行線，并交于點E，連續(xù)EC、AD。
求證：四邊形ADCE是矩形。
                 
圖片
 
例2.如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB. 
 
求證：AD與EF互相垂直平分。 
                      
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例3.已知如圖，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分線，點E、F分別在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
 
求證：四邊形CDEF是菱形。
                                           
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三、矩形、菱形、正方形
與函數(shù)綜合題
 
1.利用矩形、菱形、正方形的知識解決函數(shù)問題；
2.利用函數(shù)知識解決矩形、菱形、正方形的問題；
 
例1.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上，點D的坐標為（4，3）．
 
（1）求k的值；
 
（2）若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當菱形的頂點D落在函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上時，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離。
 
圖片
 
例2.如圖，點B、C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點A、D是x軸上兩點，已知四邊形ABCD是正方形，則k值為______． 
        
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例3 已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．
 
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；
 
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式。               

 

四、矩形、正方形的翻折

 

1.從翻折中找出對稱軸，利用對稱性找相等關系。
2.利用相等關系建立方程解決問題。
 
例1 如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長是(   )
 
 A．3√6   B．2√6   
 
C．2√5   D．2√3
 
 
 
例2 如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點E為BC上一動點，把△ABE沿AE折疊，當點B的對應點B′落在∠ADC的角平分線上時，則點B′到BC的距離為（　?。?/span>
 
A.1或2  B. 2或3   
 
C.3或4   D. 4或5 
                        
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例3 如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE，將△ABE沿BE對折，A點恰好落在對角線BD上的點F處。延長AF，與CD邊交于點G，延長FE，與BA的延長線交于點H，則下列說法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=2-√2；⑤S△AEF=S△DFG．其中正確的說法有（?。?nbsp;
 
A．1個　　B．2個　　
 
C．3個　D．4個
 
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例4 四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點H。
 
(1)如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關系？并證明。
 
(2)如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且BD=2，CD=3，求AD的長。
 
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五、綜合運用
 
1.計算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形進行計算。
 
2.證明。利用矩形、菱形、正方形的性質和判定，結合全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的知識展開證明。
 
3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知識展開探究。
 
例1 在數(shù)學興趣小組活動中，小明進行數(shù)學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．
 
(1)小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由．
 
(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．
 
(3)如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由。 
 
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例2 現(xiàn)有兩個具有一個公共頂點的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M為線段BD中點，連接CM，EM.
 
(1)如圖1，當A、B、D在同一條直線上時，若AC=1，AE=2，求FM的長度；
 
(2)如圖1，當A、B、D在同一條直線上時，求證：CM=EM；
 
(3)如圖2，當A、B、D在同一條直線上時，請?zhí)骄緾M，EM的數(shù)量關系和位置關系，請先給出結論，然后證明。
 
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